Die Aufgabe

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   Konstruiere mit Zirkel und Lineal
   aus einem gegebenen Quadrat ein flächengleiches Rechteck
   mit dem Seitenverhältnis 1 zu √2
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   Konstruktion:
Gegeben sei das Quadrat BCDE.
 1. Ziehe Geraden W (Waagerechte) durch BC
    und S (Senkrechte) durch CD
 2. Schlage einen Kreis um B mit dem Radius
    d = Quadratdiagonale, der W schneidet.
 3. Wähle von den beiden Schnittpunkten
    den Punkt F, der von B aus betrachtet hinter C liegt.
 4. Schlage einen Thaleskreis T über der Strecke BF.
 5. Schneide die Gerade S mit dem Thaleskreis T.
 6. Wähle von den beiden Schnittpunkten
    den dem Quadrat gegenüberliegenden Schnittpunkt A.
 7. Die Strecke AB wird die Hypothenuse c des Dreiecks ABC.
 8. Fälle vom Punkt C das Lot L auf die Hypothenuse c.
 9. Das erzeugt den Schnittpunkt G.
10. G teilt c in die Abschnitte p und q
11. Gerade L schneidet Kreis um G mit Radius c --> H
12. Vervollständige Rechteck --> I
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Die Grafik

Hinweise zur Notation

1. Das Zeichen ^ (ASCII-Code x5E) potenziert den Linksoperanden (Basis)
   mit dem Rechtsoperanden (Exponent) z.B. 3^2 = 9.
2. Das Quadrieren kann auch mit hochgestellter Zwei ² (Unicode 178)
   notiert werden z.B. 3² = 9.
3. Als Multiplikationzeichen können Mal-Punkt· (Unicode 183)
   oder Mal-Kreuz × (Unicode 215) verwendet werden.
4. Als Divisionszeichen können ÷ (Unicode 247)
   oder           Doppelpunkt  :
   oder           Schrägstrich / verwendet werden.
5. Das Unicodezeichen √ = U+221A bedeutet in der Präfixnotation
   z.B. √2=1.414... die Quadratwurzel.
   Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelzeichen
   Es ist naheliegend, einen evtl. vorhandenen Linksoperanden
   in der Infixnotation als Wurzelexponent zu interpretieren
   z.B. 3√8=2 (sprich: Dritte Wurzel acht gleich zwei).

Beweis

Es werden Höhensatz und Kathedensatz von Euklid genutzt.
Das vorgegebene Quadrat hat praktischerweise die Fläche √2.
Dann muss nur noch gezeigt werden, dass das Rechteck
die Seitenlängen 1 und √2 hat.

1. Im Zentrum steht das Dreieck ABC
   mit den Seiten a, b, c = p+q.
2. Aus der Quadratfläche a^2 = √2 folgt
   a = √(√2) = 4√2  (sprich: 4te Wurzel 2)
3. Die Quadratdiagonale d errechnet sich:
   d = √(a²+a²)
     = √(2×a²)
     = √2 × a
     = √2 × 4√2
     = 4√4× 4√2
     = 4√8 (sprich: 4te wurzel 8)
4. Im Thaleskreis gilt für das Dreieck BFA
   nach dem Höhensatz
   b² = a   × (d  - a )
      = a   × d   - a²
      = 4√2 × 4√8 - √2
      = 4√(2×8)   - √2
      = 2         - √2
5. Im rechtwinkligen Dreieck ABC gilt nach Pythagoras
   c² = a² + b²
      = √2 + 2 - √2
      = 2  Es folgt:
   c  = √2
6. Im rechtwinkligen Dreieck ABC
   gilt nach dem Kathedensatz
   q × c = a²  Es folgt:
   q = a² ÷ c
     = √2 ÷ √2
     = 1
7. Für die lange Rechteckseite gilt
   BI = BA = c = √2
8. Flächen nach Kathetensatz gleich
   q· c = a²
   1·√2 = √2
q.e.d.
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Das Recapis-Programm

Die Euklid-Unterprogramme